除以零（第4/7頁）

寫到紙的三分之二左右時，雷內開始將長串長串的符號縮短成連續的短串符號。她心裏想，現在要到關鍵處了。她意識到自己用力過大，下意識地放松握在手中的鉛筆。在她寫出的下一行上，符號串變成一樣的了。接著，她重重地畫了個“=”號，橫過紙的底部中心線。

她將紙遞給卡爾。他望著她，表示看不懂。“看一看最上面吧。”他照辦了，“再看一看最下面。”

他眉頭緊鎖。“我還是看不懂。”

“我發現了一種體系，可以使任何數字等於任何別的數字。這張紙上就證明了一和二是相等的。你隨便挑兩個數字，我都可以證明它們是相等的。”

卡爾似乎竭力在回憶什麽。“裏面肯定出現了以零為被除數的情況，對嗎？”

“不對。沒有不符合規則的運算，沒有不嚴謹的術語，沒有想當然假定的獨立公理，全都沒有。證明過程絕對沒有采用任何規則禁止的東西。”

卡爾搖了搖頭。“等一下。顯然一和二是不相等的。”

“但在形式上它們是相等的，證明就在你手裏。我使用的一切方法都是絕對無可爭議的。”

“但你得出了一個矛盾的結果？”

“說對了。也就是說，算術作為一種形式系統，是不一致的。”

6B

“你找不出錯誤來，這就是你的意思嗎？”

“不對，你沒有明白我的意思。你以為我是因為這個才焦頭爛額的嗎？證明本身並沒有錯誤。”

“你的意思是說，用的方法都是對的，結果卻出了錯？”

“正確。”

“你肯定——”他戛然而止，卻太晚了。她瞪著他。她當然可以肯定。他想知道她到底想得出什麽結論。

“你懂嗎？”雷內道，“我已經推翻了大半個數學，這門學問全都沒意義了。”

她焦躁起來，幾乎快發瘋了。卡爾小心翼翼地選擇字眼，“你怎麽能這麽說？數學仍然有用。科學和經濟並不會因為你這個領悟而突然崩潰的。”

“這是因為他們使用的數學純粹是騙人的把戲，是一種口訣式的小玩意兒，跟用指關節來計算哪些月份有三十一天一樣。”

“不一樣。”

“為什麽不一樣？現在，數學與現實絕對毫無關系。且不說像虛數或者無窮小數之類的概念，就連該死的整數加法都跟用指頭計算毫無關系。你用指頭計算，一加一始終等於二，但在紙上我可以給你無窮多的答案，這些答案全都同樣有效，這也意味著它們全都同樣無效。我可以寫出你見過的最優美的定理，但它卻不過是一個瞎扯淡等式。”她苦笑起來，“實證主義者曾經說一切數學都是同義反復。他們錯了；數學是自相矛盾。”

卡爾試了試另一種方式。“等一下。剛才你提到的虛數這類想象出來的概念，大家不也一樣接受了嗎？現在不也可以這樣嗎？數學家們曾經相信虛數沒有意義，可是現在它們成了數學的基礎概念。情況完全是一樣的呀。”

“不一樣。當時的解決方法只是擴展語境，用在這裏不起作用。虛數給數學增添了新的內容，而我的形式系統卻是給已經存在的東西下定義。”

“但是，如果你改變語境，從不同的角度探索——”

她翻了個白眼。“不可能！這個體系是從和加法一樣明白無誤的公理得出的結果，無法繞過。我可以擔保。”

7

一九三六年，格哈德·根岑提出了一種對算術一致性的證明，可是要作出證明，他需要采用一種有爭議的方法，即人們所知道的超限歸納法。這種方法不屬於正常的證明方法，因此似乎難以恰當地保證算術的一致性。根岑所做的是使用可疑的方法來證明顯而易見的東西。

7A

卡拉漢從伯克利大學打電話來說他也不能雪中送炭，但表示願意繼續研究她的論文，似乎她觸及到了某種本質的，而又令人不安的東西。他想知道她是否打算發表她的形式體系，如果這個體系的確包含他們兩人都無法發現的錯誤，數學界肯定會有其他人能夠發現。

雷內幾乎沒有聽他說話，只是嘀咕以後會打電話聯系他。近來，她與人講話很困難，尤其是那次與卡爾爭論以來，情況更糟糕。系裏的同事們都盡量避開她。她顯得心不在焉。前一天夜裏她做了一個噩夢，夢見自己發現了一種形式體系，可以使她將主觀概念轉換成數學語言，然後，她證明了生與死是相同的。

有一種可能性讓她十分驚恐：她可能正在失去理智。她的思維肯定已不再清晰，這與失去理智已經相差無幾了。