第三百五十章 搞定畢業論文

另一邊，華國。

經過一夜的思考，困惑程諾終於對自己的畢業論文有了新的思路。

關於兩個引理的運用，程諾有他自己獨到的見解。

所以，這天白天的課一結束，程諾便匆匆趕到圖書館，隨便挑了一個沒人的位置，拿出紙筆，驗證自己的想法。

既然將兩個引理強加進Bertrand假設的證明過程中這個方向行不通，那程諾想的是，能否根據這兩個引理，得出幾個推論，然後再應用到Bertrand假設中。

這樣的話，雖然拐了個彎，看似比切比雪夫的方法還要麻煩不少。但在真正的結果出來之前，誰也不敢百分百就這樣說。

程諾覺得還是應該嘗試一下。

工具早已備好，他沉吟了一陣，開始在草稿紙上做各種嘗試。

他有不是上帝，並不能很明確的知曉通過引理得出來的推論究竟哪個有用，哪個沒用。最穩妥的方法，就是一一嘗試。

反正時間足夠，程諾並不著急。

唰唰唰~~

低著頭，他列下一行行算式。

【設m為滿足pm≤2n的最大自然數，則顯然對於i>m，floor（2n/pi）-2floor（n/pi）=0-0=0，求和止於i=m，共計m項。由於floor（2x）-2floor（x）≤1，因此這m項中的每一項不是0就是1……】

由上，得推論1：【設n為一自然數，p為一素數，則能整除（2n）！/（n！n！）的p的最高冪次為：s=Σi≥1[floor（2n/pi）-2floor（n/pi）]。】

【因為n≥3及2n/3<p≤n表明p2>2n，求和只有i=1一項，即：s=floor（2n/p）-2floor（n/p）。由於2n/3<p≤n還表明1≤n/p<3/2，因此s=floor（2n/p）-2floor（n/p）=2-2=0。】

由此，得推論2：【設n≥3為一自然數，p為一素數，s為能整除（2n）！/（n！n！）的p的最高冪次，則：（a）ps≤2n；（b）若p>√2n，則s≤1；（c）若2n/3<p≤n，則s=0。】

一行行，一列列。

除了上課，程諾一整天都泡在圖書館裏。

等到晚上十點閉館的時候，程諾才背著書包依依不舍的離開。

而在他手中拿著的草稿紙上，已經密密麻麻的列著十幾個推論。

這是他勞動一天的成果。

明天程諾的工作，就是從這十幾個推論中，尋找出對Bertrand假設證明工作有用的推論。

……

一夜無話。

翌日，又是陽光明媚，春暖花開的一天。

日期是三月初，方教授給程諾的一個月假期還剩十多天的時間。

程諾又足夠的時間去浪……哦，不，是去完善他的畢業論文。

論文的進度按照程諾規劃的方案進行，這一天，他從推導出的十幾個推論中尋找出證明Bertrand假設有重要作用的五個推論。

結束了這忙碌的一天，第二天，程諾便馬不停蹄的開始正式Bertrand假設的證明。

這可不是個輕松的工作。

程諾沒有多大把握能一天的時間搞定。

可一句古話說的好，一鼓作氣，再而衰，三而竭。如今勢頭正足，最好一天拿下。

這個時候，程諾不得不再次準備開啟修仙大法。

而修仙神器，“腎寶”，程諾也早已準備完畢。

肝吧，少年！

程諾右手碳素筆，左手腎寶，開始攻克最後一道難關。

切爾雪夫在證明Bertrand假設時，采取的方案是直接進行已知定理進行硬性推導，絲毫沒有任何技巧性可言。

程諾當然不能這麽做。

對於Bertrand假設，他準備使用反證法。

這是除了直接推導證明法之外最常用的證明方法，面對許多猜想時非常重要。

尤其是……在證明某個猜想不成立時！

但程諾現在當時不是要尋找反例，證明Bertrand假設不成立。

切爾雪夫已然證明這一假設的成立，使用反證法，無非是將證明步驟進行簡化。

程諾自信滿滿。

第一步，用反證法，假設命題不成立，即存在某個n≥2，在n與2n之間沒有素數。

第二步，將（2n）！/（n！n！）的分解（2n）！/（n！n！）=Πps（p）（s（p）為質因子p的冪次。

第三步，由推論5知p<2n，由反證法假設知p≤n，再由推論3知p≤2n/3，因此（2n）！/（n！n！）=Πp≤2n/3 ps（p）。

……

第七步，利用推論8可得：（2n）！/（n！n！）≤Πp≤√2n ps（p）·Π√2n<p≤2n/3 p≤Πp≤√2n ps（p）·Πp≤2n/3 p！

思路暢通，程諾一路寫下來，不見任何阻力，一個小時左右便完成一半多的證明步驟。

連程諾本人，都驚訝了好一陣。

原來我現在，不知不覺間已經這麽厲害了啊！！！

程諾叉腰得意一會兒。

隨後，便是低頭繼續苦逼的列著證明公式。

第八步，由於乘積中的第一組的被乘因子數目為√2n以內的素數數目，即不多於√2n/2-1（因偶數及1不是素數）……由此得到：（2n）！/（n！n！）<（2n）√2n/2-1·42n/3。