天籟之音

有一次，我妹妹露西大概4歲的時候，在冰箱裏發現了半個包著保鮮膜的檸檬。

“噢，我還從沒見過黃色的橙子。”她拿過來準備咬上一口。

作為哥哥，我應該告訴她世界的危險。於是我解釋了“黃橙子”不能吃，“你肯定會後悔的”。

可是，露西不信。我只好給她看這個結論是如何得出的。

雖然爸爸警告過我，露西年齡還小，不能觀看增強現實視頻，可我還是摘下眼鏡給露西戴上。

眼鏡不太穩當地架在露西的小耳朵和圓鼻子上。我笑起來，她看起來跟卡通形象一樣可愛。

現在，視頻和文字會幽然疊加在露西視線所及之處，為了看清那些內容，她的瞳孔都在擴大。我已經給她調出《兒童百科全書》，所以知道她轉身看著檸檬時，半透明的視頻會循環播放一個女孩舔了一片檸檬後被酸得撇嘴皺眉的樣子。滾動的字幕顯示：檸檬汁含有5%的檸檬酸。“這幾乎是橙汁的5倍。”我炫耀著自己的數學水平，“也就是說，檸檬非常酸。”

露西摘下眼鏡，毫不遲疑地咬了一口檸檬，她臉上的表情能把人逗死。（當然，最後在父母那兒惹麻煩的還是我。）

對於露西而言，道理永遠不及體驗。

可我卻正好與她相反，所以才念了數學專業。

我跳了幾級，提前進入大學。因為害怕比我的同學年齡小太多，大一我就沒住在學校，而是住在家裏。每天下午，露西和我就坐在餐桌旁，她做作業，我研究我的問題集。

“幫幫我，喬。”一天下午她在桌對面看著我說，“你是我唯一的希望了。”

她頭一次做真正的數學證明——每個幾何初學者都痛恨的問題，即“歐幾裏得驢橋定理”，要求學生證明等腰三角形的兩個底角相等。

我要來她的眼鏡，這樣就能看到老師的提示和建議的方法。盯著作業本上的圖，老師添加的輔助線若隱若現，三角形的腰被延長，延長的長度BD等於CE。這是歐幾裏得采用的經典方法。輔助線生成全等三角形，露西可以在證明中使用。

我把眼鏡還給她，然後開始解釋應該如何一步步嚴密地解答這個問題。可是露西很快變得不耐煩，在她看來，歐幾裏得就是一個謹小慎微的傻瓜。

“翻過來就行。”露西打斷我說。

“什麽？”

“把三角形翻過來。”

她用鉛筆重重地劃過三角形的輪廓，然後從本子上扯下這頁紙，翻過來後，再把已經鏡像翻轉的三角形跟下一頁的劃痕疊在一起。

“原來在左側的角跟三角形劃痕右側的角相同，所以這兩個角是相等的。這就是你要的證明。”

我愣了一下，不知道說什麽好。她的方法是一種更簡練的證明，由亞歷山大學派的帕普斯在歐幾裏得之後約600年提出。想象二維三角形可以被“拿起來”，並在三維空間“翻轉”，這種方法過早地使用了現代對稱變換，歐幾裏得會覺得這是投機取巧。

“啊哈。”露西說，“我就知道，沒有必要費心琢磨復雜的全等三角形。”

我回過神來：“不能這麽證明。希臘數學家曾考慮過你的方法，他們覺得不對。”

“為什麽不對？”

“你的證明取決於幾何形狀的移動，可是以你現在的知識水平， ‘翻轉’和‘移動’還沒有得到足夠充分的定義。你不能把它們當作證明技巧來使用。”

“可這也太說不過去了，你看，我剛剛證明了結論。”

“實際上，你用真實的模型證明沒有用，因為數學不是關於模型的，它無關於世界中的任何事物。數學關乎僅存於意識中的邏輯結構。不管怎麽樣，按照你的想法正確證明，得使用矩陣和線性變換，才能得到從一種狀態向另一種狀態‘轉換’的嚴格證明。現在你必須得使用全等三角形證明，除非你想讓我教你解析幾何。”

我給她畫出三角形，標出公共邊和角，引用恰當的公理和定理，一步一步講解證明過程，可她一直悶悶不樂。

我喜歡了然於胸的快樂與安寧，每一步證明得出下一步結論，直到最後，全部內容像多米諾骨牌一樣排列，你運用邏輯輕輕推動第一塊，勢必完美引發作為結論的最後一塊骨牌倒下。這簡直就是柏拉圖音樂宇宙[1]的呈現，我對數學的喜愛也正源於此。

露西倒不覺得了不起：“我的證明展示出角度為什麽相等，用你的方法太復雜。等我在第三頁寫下‘證明完畢’時，連要證明什麽問題都被我忘了。”

“你只需要練習，過段時間就能夠記住，就像直覺一樣。暫時忘了翻轉圖形的方法吧。”

露西不情願地翻回到圖形那一頁。“可它確實可以翻轉[2]。”她低聲嘟囔著說。