第四百四十四章 素數無限的證法

關於“素數有無窮多個”的證明方法，目前最被認可的是數學家歐裏幾得在《幾何原本》第9卷的第20個命題列出的證明過程。

因此，這一命題也因此被稱為了“歐幾裏德定理”。

歐裏幾得的證法很簡單，也很平凡，因此得以進入初等數學的課堂。

他首先是假設素數是有限的，假設素數只有有限的n個，最大的一個素數是p。

然後設q為所有素數之積加上1，那麽，q=（2×3×5×…×p）+1不是素數，那麽，q可以被2、3、…、p中的數整除。

而q被這2、3、…、p中任意一個整除都會余1，與之矛盾。所以，素數是無限的。

這個古老而又簡便的證明法，即便時隔兩千多年，都無法否認它的強大。

……

“我覺得既然是比數量的話，那我們最好就在歐裏幾得的證明法的基礎上進行變種，這樣浪費的時間估計會少一點。”

“嗯，我也這麽覺得，畢竟我們只有半個小時的時間，我們三個至少每個人要想出來一個變種才有獲勝的希望。”

“不不不，三個絕對不夠，其他學校也不都是一些無能之輩，我覺得要爭前三的話，起碼五個更穩妥！我們最多用二十分鐘的時間各自想出一個變種，然後我們三人最後十分鐘再合力看看還有沒有什麽其他的思路。”

“好吧，那就這樣。”

兩位隊友在激烈的討論著。在達成了一致意見後，便齊齊扭頭看向程諾。

“程諾，你沒問題吧？”雖然時間緊迫，但兩人還是想問一下程諾的意見。

“呃……有一句話，我不知道當講不當講。”程諾撓撓頭道。

兩人一愣，回道，“但說無妨。”

“我們為什麽非要琢磨歐裏幾得證明法的變種，而不去尋找新的方向進行證明呢？”程諾問道。

程諾的話把兩人問的啞口無言。

他們又何嘗不想去尋找另一個證明素數無窮命題的新方向。

但這是在比賽，不是在搞研究。

而衡量的標準是數量，也並非是質量。

在歐裏幾得證明法的基礎上進行變種，就像於是站立在巨人的肩膀上，無論是研究難度，還是研究時間，都會大大縮減。

而尋找另一種證明方向，說起來簡單，但那可是一個從無到有的過程，艱辛無比。並且失敗的可能性極高。

兩人沒有那勇氣，也沒有那信心嘗試去做那個開拓者。

隊友苦笑，“不是我們不想，而實在是我們沒有那底氣說有那實力去做。就算我們三人合力，半小時的時間也未必能找到一個新的方向去證明素數無窮命題。”

程諾聳聳肩，笑道，“不啊，我現在腦子裏就有許多新想法。”

兩人默默對視一眼，皆是懷疑程諾話語的真實性。

一人狐疑的問道，“程諾同學，那能不能隨便給我們舉幾個栗子？”

程諾往篝火中心挪了挪，換了個舒服的坐姿，慢悠悠的開口，“當然沒問題。”

程諾豎起了一根手指，“第一個，利用互素序列進行證明。”

兩人也很好奇程諾究竟會說些什麽，豎起耳朵傾聽。

“你們想一下，假如能找到一個無窮序列，其中任意兩項都是互素的，即所謂互素序列，那就等於證明了素數有無窮多個——因為每一項的素因子都彼此不同，項數無窮，素因子的個數、從而素數的個數，自然也就無窮。”

“那什麽樣的序列既是無窮序列又是互素序列？”一人忍不住問道。

程諾打了響指，笑呵呵的開口說道，“其實這個序列你們應該都聽說過，數學家哥德巴赫在給數學家歐拉的一封信中，提到了一個完全由費馬數：Fn=2^2^n+1（n=0，1，...）組成的序列這個概念，通過Fn-2=F0F1···Fn-1這個公式，可以證明費馬數之間是彼此互素的。”

“以上，利用費馬數組成的序列，就可以輕松得到素數無限的一個證明法。”程諾語氣停頓了一下，開口說道，“下面我說第二個。”

“等一下！”一位隊友大聲叫停了程諾，急忙從背後的書包裏拿出一摞草稿紙，將程諾提出的第一個證明法記下以後，才不好意思的對程諾說道，“你繼續吧。”

他這麽大聲，自然引起了旁邊許多學校的注意。

於是當眾人看到劍橋大學這邊兩位天資橫溢的博士生，此時卻宛若小學生一般，仰著頭期待著那邊程諾講話，皆是一臉的疑惑之色。

但時間緊迫，眾人的視線只是在劍橋大學的隊伍上停留了幾秒時間，便匆匆接著自己的埋頭苦算。

“呃，那我接著說。”程諾接著說道，“我第二個想出的辦法是利用素數的分布進行求證。”

“法國數學家阿達馬和比利時數學家瓦萊-普森於1896年證明的素數定理中指出，N以內的素數個數π（N）的漸近分布為π（N）~N/ln（N），N/ln（N）隨N趨於無窮……”