第087章 高斯定理的估算

“這位同學，請保持清醒，不要在考場上打瞌睡。”監考老師十分嚴肅的提醒沈奇。

“嗯，抱歉。”沈奇揉揉太陽穴，最近一段時間改《奧數冠軍沈奇的數學技巧》的稿子，改的他心力憔悴，沒怎麽休息好。

“趕緊搞定最後一道計算題，搞完了回家補覺。”沈奇打起精神，仔細審題。

審完最後一道25分的計算題，沈奇終於有了幾分興趣：“就這最後一題，像是正規物理老師出的題。”

物理計算題大多配有示意圖，不配圖的物理題一般呈現兩種極端，一種是簡單的想打瞌睡，另一種是難的吊炸天。

初賽鎮宅之題的分值最高，25分，這道計算配有示意圖。

示意圖是一個圓，從圓心O到圓周七點鐘方位畫有一條虛線R，這條虛線R是圓的半徑。在圓心O旁邊不遠處有個小黑點mq。

本題的文字描述是：

“如圖所示，電荷線密度為λ（λ＞0），半徑為R的均勻帶電圓環固定在光滑的水平絕緣桌面上。質量為m、電量為q的光滑小球，靜止放在桌面上與圓環中心O點非常接近的位置處。”

“設圓環上電荷的分布不受小球電荷的影響，試判斷小球之後的運動是否為振動？”

“若為振動，設小球初始位置與O點的距離r0＜＜R，試用適當的近似方法估算小球的振動周期T。”

估算與嚴格計算的區別在於，估算可以繞過復雜的數學演算，直接獲得正確的定性結論和比較接近的粗略定量結果。

就初賽最後一道計算題而言，小球的運動是振動還是非振動，沈奇必須給出定性結論，判斷不得有誤。這是第一步。

對於同一道物理題，如果采用估算方法，可選擇的途徑往往不止一條。

很明顯，這是道電磁學題目，沈奇在諸多種估算方法中，選擇靜電場高斯定理為依據開始答題。

沈奇作出一個輔助圖，取通過O點並與圓環平面垂直的軸為x軸。

在圓平面上以O點為圓心，作半徑為r的圓。

將此圓沿x軸的正負方向各延展l，一個圓柱面就此形成。

沈奇取此圓柱面為高斯面，因其中無電荷，根據高斯定理可得：

ΦE*ds=0

高斯定理一祭出，真相越來越清晰。

帶正電的小球所受靜電力總是指向圓環中心O點，為恢復性保守力，小球的運動為振動，振動中心就是O點。

沈奇很快解決了第一問，這就是定性給結論，接受過物競培訓的學生應該都能給出正確的結論性判斷。

第二問要求沈奇估算小球的振動周期T，稍微麻煩一點點。

圓柱兩端面的電通量可以近似的用x軸上的電場強度來計算，沈奇作出計算：

E1=λ（2πR）l/4πε（R^2+l^2）^3/2=λRl/2ε（R^2+l^2）^3/2

那麽通過兩端面的電通量近似值就出來了：

SS兩端面E*ds≈E1*2πr^2

通過圓柱側面的電通量可以近似的用圓平面上與O點相距為r處的電場強度Er來計算，根據高斯定理可得：

Φ圓柱面E*ds=SS兩端面E*ds+SS側面E*ds=0

那麽帶電小球在r處所受靜電力為：

Fr=qEr=-λq/4εR^2*r

考慮到線性恢復力，小球在它的作用下將繞O點做簡諧振動。

所以周期T=4πR根號εm/λq

“搞定。”歷經CMO乃至IMO的洗禮，沈奇在學科競賽的賽場上已算一位經驗豐富的老將。

數競也好，物競也罷，競賽模式大同小異。

既然是老將，就不能驕傲自大、暴躁浮誇，必須時刻保持嚴謹的競賽作風。

沈奇檢查了一遍考卷，然後交卷，此時距開考過去了30多分鐘。

“這尼瑪？”

“臥槽？”

“這麽早交卷？”

“不停的寫，寫滿試卷也得30分鐘吧？”

“這貨不用思考的？還是瞎幾把寫？”

同一考場的其他選手明顯受到沈奇交卷的影響，各自在心中高呼MMP。

雖然CPhO全國初賽的考卷不難，但這麽早交卷也屬罕見。

物競圈子裏也有眼尖的選手：“提前交卷這貨……莫非是沈奇？那個國際奧數競賽的冠軍？”

沈奇走到考場門口，阿嚏，忽然打了個噴嚏，脊梁骨竟冒出一絲寒意。

“誰在罵我？”沈奇猛然回頭，眼神犀利掃視眾選手。

“草！”

眾選手菊花亂顫，遂埋頭繼續答題。

“喂，交了卷請迅速離開考場。”監考老師催促沈奇，並快速審視沈奇的試卷，該寫的都寫滿了，有理有據，不像瞎蒙，這種情況允許提前兩個多小時交卷。

沈奇大步離去，在考場外見到了穆蓉。

“這……沈奇你也太快了吧？”穆蓉有些意外。

沈奇略顯從容：“一般一般，亞洲第三。”

“那亞洲前二是誰？”穆蓉忍住不讓自己發笑。

沈奇一本正經的說到：“是校長和穆老師。”