天籟之音

雖然我不再夢想揭示數學上的驚人發現，

但我還是努力向這些孩子展示數學的美，

好讓他們和我一樣聽到宇宙的聲音。

有一天，或許他們當中的某個會獲得一個發現，

盡管我無法理解，卻能體會它的優美。

我妹妹露西快四歲的時候，有一天，她在冰箱裏找到半只用保鮮膜包裹著的檸檬。

“呀！我還從沒見過黃色的橙子呢！”她抓起檸檬張嘴就要咬。

作為哥哥，我有責任告訴她世間的種種危險，於是我向她解釋，這種“黃色的橙子”不是直接拿來吃的，“你肯定會後悔的。”我說。

但露西不大相信——我不得不向她演示我是怎樣得到這個結論的。

我摘下眼鏡給她戴上，雖然爸爸警告過我，說露西太小了，不能盯著增強顯示屏看。

我撲哧一笑。眼鏡晃晃悠悠地掛在露西的小耳朵和小鼻梁上，跟卡通人物一樣可愛。

她驚訝地放大了瞳孔，因為現在無論她看什麽，上面都飄浮著一層幽靈般的文字和影像。我把它設置成顯示《兒童百科全書》裏的內容，而且知道當她望向那只檸檬時眼裏會看到什麽：一個半透明、循環影像的年輕女子舔完檸檬後扮了個鬼臉；一行滾動文字顯示：檸檬汁裏有5%是檸檬酸。“那差不多是橙汁酸性成分的五倍。”我賣弄起自己的數學能力，“所以意味著它真的特別酸。”

露西摘下眼鏡，隨即咬了一口檸檬，當時她臉上的表情實在太怪異了。（當然，後來在父母面前挨罵的是我。）

對於露西來說，理性永遠趕不上體驗。

我恰好相反。後來我讀了數學專業。

我跳了幾級，提前進入大學。我對自己的年齡比同學們小這一點頗為緊張，所以入學後我沒有住校，而是仍然住在家裏。每天下午，露西和我一起坐在餐桌前，她做她的作業，我做我的習題。

“幫幫我，喬。”一天下午她隔著桌子對我說，“你是我唯一的希望。”

她正在做自己的第一道實證題，每一個剛開始學習幾何的學生都討厭這個題目：歐幾裏得的等腰三角形定律，要求學生證明等腰三角形的兩底角相等。

我問她要眼鏡，好知道她的老師都給了哪些提示和解題辦法。我盯著練習本上的圖形，看到她的老師在三角形的兩邊加了兩條輔助延長線，線段BD的長度等於線段CE,這是歐幾裏得的經典解法，由延長線形成的兩個全等三角形可以用於證明。

我把眼鏡還給她，開始向她解釋怎樣以嚴密有序的方式來思考這個問題。但是露西很快就不耐煩了，在她看來，歐幾裏得就是個死板的傻瓜。

“只要把它翻過來。”露西打斷我說。

“什麽？”

“只要把三角形翻過來。”

她用鉛筆在紙上把三角形的形狀重重地描了一遍，然後撕下那張練習紙，把它翻過來，將鏡像圖和鉛筆在紙上留下的描痕合在一起。

“左邊這個角和右邊那個角留下的痕跡吻合，所以很明顯它們兩個相等。這就是證明。”

一時間我真不知道說什麽好。這個想法實際上早在歐幾裏得之後六百年就由亞歷山大裏亞時期著名的數學家巴普斯提出過，是一種簡化得多的證明方法。通過想象這個二維空間的三角形可以被“拾起來”，並在三維空間裏“翻轉”，它預先采用了現代的對稱與變換的辦法，但是歐幾裏得肯定會把這看成作弊。

“啊哈，”露西說，“我就知道，根本用不著麻煩地證明什麽愚蠢的全等三角形。”

我反駁道：“你不能這樣。古希臘的數學家考慮過你這種方法，他們覺得這樣做不行。”

“為什麽不行？”

“你的論證依賴於移動圖形，但是就你現在的知識水平來講，還不夠充分地定義‘翻轉’和‘移動’。你不能用它們進行論證。”

“但那也太蠢了。你看，我剛才做到了。”

“沒錯，生活中你可以用模型做一些事，但是對於數學來說不頂用，因為數學不是關於模型的。它不依賴於世界上任何東西。數學關心的是僅存於思維當中的邏輯結構。至少，要按你想的那樣操作，正常的方法是要使用矩陣和線性變換，這樣才能保證以嚴密的方式把一種狀態‘移’至另一種狀態。現在還是踏踏實實地來解決全等三角形吧，除非你想讓我教你坐標幾何。”

當我跟她講解證明步驟，在三角形上做標記，確定公共邊和公共角，引證每一步該用的公理和定理時，她始終憋著一肚子的氣，一聲不吭。

我喜歡那種豁然開朗時無比幸福的寧靜，論證環環相扣，直到最後整合在一起，就像一列多米諾骨牌，最開始一個邏輯性的推動，然後一發不可收拾，漂亮地倒向最後的結論。這是柏拉圖式的天籟之音，正因如此我才深愛著數學……