第1127章 霍奇猜想的新思路

大概是在年初那會兒，陸舟還沒有將陳陽從燕大數學中心挖來的時候，這位陳教授便在研究霍奇猜想了。

陸舟還記得，當時他在黑板上研究自己的超橢圓曲線分析法，並且用了一種非常巧妙的方法，將這個原本為準黎曼猜想設計的數學工具，改進之後直接運用在了對非奇異復代數簇的代數拓撲，以及其定義子簇的多項式方程所表述的幾何關聯問題的研究上。

當初也正是因為這一手漂亮的操作，讓陸舟不禁動了愛才之心，將他從燕大數學中心挖到了金陵這邊來。

現在已經過去快一年了，關於霍奇猜想的課題仍然沒有絲毫的進展，再加上前段時間一直在忙代數幾何統一理論的事情，以至於陸舟都快把這件事給忘了。

“走，去我辦公室說。”

帶著陳陽來到了自己的辦公室，陸舟親自去墻角幫他拖來了一張白板，並且將自己的記號筆遞到了他的手上。

沒有將時間浪費在客套上，接過了筆之後，站在白板前的陳陽思索了片刻，首先在白板上隨手畫了個圓，然後在旁邊標記了S，並寫下了一行表達式。

“……對於緊致無邊的曲面S，其Gauss曲率K可以在整個曲面上進行積分。”

一邊寫著，陳陽一邊繼續說道。

“眾所周知的是，一個曲面不一定只容有一個度量，所以我嘗試對S的度量進行了更換。在更換了度量之後，相應的Gauss曲率K同樣也會發生改變，但積分值卻與曲面的度量無關，而只與曲面的Euler示性數X(S)有關，利用這一性質，我們可以——”

看著白板上的算式，陸舟眉毛輕輕擡了下，饒有興趣地說道。

“Gauss－Bonnet公式？”

手中的筆停住，陳陽點了下頭說道。

“正是。”

說罷，他將Gauss－Bonnet公式寫了上去。

看到這畫龍點睛的一筆，陸舟的臉上感興趣的神色愈發濃烈了。

事實上，他大概已經猜到，陳陽是打算幹什麽了。

根據高維黎曼流形M的性質，Gauss曲率可以推廣為截面曲率，它的值可以由黎曼曲率的張量決定。至於其被積函數，則是由曲率張量組成的很復雜的代數式——即Gauss－Bonnet被積函數。

至於其在整個流形上的積分，則是由這個流形的Euler示性數X(M)所決定。

利用這些性質，便能夠將Hodge理論推廣到完備非緊流形中。

這些深刻的數學意義，是由陳省身教授得到的，也就是著名的Gauss–Bonnet–陳公式中的數學內涵。

再結合阿提亞爵士的L2上同調方法，沿著這條思路繼續走下去，搞不好還真能把這個猜想給證出來。

當然，具體該如何證明，還需要深入研究一下就是了。

想到這裏，陸舟贊許地點頭。

秒啊。

實在是妙。

不知何時，陳陽的背後已經站了一圈人。

早在他剛剛開始板書的時候，辦公室裏的人便注意到了這邊。

盯著白板上的算式，季默兩眼發光，激動的小聲說道：“這，難道就是傳說中的——”

見自己師弟說話又只說了一半，何昌文皺了下眉頭，低聲道：“到底是啥，別賣關子。”

季默奇怪地看了他一眼。

“霍奇猜想啊！很明顯嘛。”

何昌文：“……”

這特麽哪裏明顯了？！

不過仔細一看，好像確實是這樣。

想到這裏，何昌文不禁在心中安慰了自己一句。

嗯，如果認真看的話，他應該也是能看出來的。

白板上的筆停下了，陳陽陷入了沉思。

顯然，這條思路他只走到了一半，後面該怎麽走還沒有很好的想法。

不知何時來的辦公室，站在旁邊一直沉默不語的佩雷爾曼教授，忽然開口說道。

“這條思路看起來有點意思。”

回頭看向了佩雷爾曼教授，陳陽微微愣了下，有些意外地說道。

“您是什麽時候過來的？”

“大概在你寫到一半的時候……本來我是來找陸教授的，沒想到在這裏還有意外收獲，”停頓了一下，佩雷爾曼繼續說，“……可以給我用下筆嗎？”

沒有任何的猶豫，陳陽果斷將手中的記號筆讓了出來。

從陳教授的手中接過了筆，站在白板前的佩雷爾曼沉思了片刻，隨後在他的算式下面空了幾行，繼續寫了起來。

“既然有現成的代數幾何統一理論可以運用，式（3）的證明我就省略了。”

“……我的建議是，對於之後部分的證明，我們可以將緊流形M問題提升到它的通用復蓋流形上，得到完備非緊流形M。”

“根據阿提亞的定理，如果我們能在截面曲率的條件下證明除了中間的L2同調群其余都為零……”