第四百零四章 最貪的選擇

陳舟明顯愣了一下。

這是一上來，就考自己嗎？

從幾何角度研究非交換環？

真要說起來，對於非交換環，陳舟還是有些看法的。

非交換環的一個最常見的例子，或許就是矩陣了。

利用矩陣可以得到一批非交換環的反例。

就好像，若S是包含在環R內的相應維數為無窮的域。

那麽A=Re_11＋Re_12＋Se_22，是左Noether與左Artin的。

但不是右Noerther與右Artin，這說明了鏈條件在非交換環中有左與右的差別。

在除環上的所有矩陣的有限直積，構成了所謂的半單環類。

這就是通常所說的Wedderburn－Artin定理。

這也是非交換環中第一個精彩的結構定理。

更加有趣的是，它通過矩陣的對稱結構，自然說明了左半單環等價於右半單環。

在交換環中，最常見的兩個根分別是Jacobson根與冪零根。

前者簡稱為大根，它是所有極大理想的交。

後者簡稱為素根或小根，它是所有素理想的交。

而在非交換的情形中，一個根就可能分化為三個根，滿足某類條件左、右理想以及理想的交。

事實上，非交換環R，所有極大左理想的交，恰恰就是所有極大右理想的交。

並且它們良好的繼承了相應的可逆性質。

因此就稱其為非交換環的Jacobson根，也記作rad（R）。

盡管非交換環中有左與右的區別，但也不乏此類殊途同歸的有趣現象。

而在交換代數中，由於局部化技術的廣泛使用，局部環成為了一個研究的焦點。

但非交換環的局部環技術，似乎受到了限制。

反倒是特別在乎半局部環。

值得注意的是，非交換環中對半局部環的定義，並非是指它只有有限個極大左理想。

而是定義為R/rad（R）是半單環或者是Artin環。

事實上，半局部環R的各（雙邊）理想均包含rad（R），可以化歸為Artin環R/rad（R）中的極大理想，因此至多只有有限多個。

但對於左理想的情形，就必須補充條件“R/rad（R）可交換”。

否則可以考慮域上的矩陣代數，它是半局部的，卻可能有無窮多個極大左理想。

至於從幾何角度研究非交換環，也就是所謂的從局部方面，研究交換代數的方法。

主要討論代數簇中的奇異點，以及代數簇在奇異點周圍的性質。

但這主要針對的是交換環，而不是非交換環……

陳舟的腦海裏飛速的閃過關於非交換環的內容。

可是，自己這只是半吊子的理解，並沒有深入研究過。

面對第一次見面的導師，還是這樣的一位大佬。

自己還能怎麽看？

與其班門弄斧，說著一些淺顯的理解。

還不如老老實實的說，自己沒啥看法。

在這樣的數學大佬面前，不懂裝懂，或者故意賣弄。

才是真正愚蠢的事情。

阿廷教授見陳舟一直沉默著，沒有說話。

便又笑著問了一句：“怎麽了？有什麽想法，可以盡管說出來。”

陳舟看了阿廷教授一眼，最終老實說道：“教授，對於從幾何角度研究非交換環，我沒有什麽看法。”

聽到陳舟的話，阿廷教授愣了一下，但也隨即釋然。

反而陳舟這種不信口開河的做法，給他留下了不錯的印象。

輕聲笑了笑，阿廷教授說道：“也對，你主要在研究解析數論。或許我應該問你，對於數論研究的看法？”

陳舟聞言，也是笑了笑。

看來阿廷教授，還是蠻好溝通的嘛。

阿廷教授看了看陳舟，又說道：“剛才那個問題，就是我當前的研究內容。”

“你也知道，我主要的研究領域，是在代數幾何。對於數論的話，或許我的父親更有研究……”

阿廷教授說到這的時候，眼神中明顯多了一絲回憶的味道。

他也沒避諱這些，而是笑著說道：“年齡大了，總是忍不住懷念過去。”

陳舟善意的笑了笑，表示理解。

隨即阿廷教授繼續說道：“所以，你入學之後，可以加入和我一起研究代數幾何，也可以自己鉆研數論的問題。”

“對此，我是不設限制的。當然，作為你的導師，有什麽問題，你可以盡管來找我。我會盡力為你解答。”

對於阿廷教授的話，陳舟還是有一些預料的。

畢竟，以他現在在解析數論領域，所作出的成績，沒有哪位導師可以忽視。

更不要說，強迫著他改變研究方向了。

人的時間是有限的，人的精力是有限的。

如何在有限的時間，充分發揮有限的精力，才是最重要的。

對此，陳舟自然也有自己的想法。