第一百五十七章 把課題推進

下午陳舟的堂弟陳勇便背著書包過來了。

陳舟把他和陳曉安排在一塊，讓他們自己寫作業，有不懂的就問他。

很順手的，陳舟就把陳勇的一本數學教材丟給了陳曉。

陳曉默默的接過，他知道，這個寒假，這本教材，會一直伴隨他的。

陳舟看了一會兩人，便回屋把自己的筆記本草稿紙等一應裝備拿了出來。

打開筆記本上關於Clifford分析相關課題的文件。

他現在在研究的是復Clifford分析中Cauchy－Pompeiu公式的相關部分。

簡單梳理了一下思路，陳舟便開始在草稿紙上寫著：

【w1＊Dξ＋w2＊Dξ=∑j=0→n[（aw1＊/aξj＋aw2＊/aξj）ej]=0……（1）】

【Dξw1＊＋Dξw2＊=∑j=0→n[ej（aw1＊/aξj＋aw2＊/aξj）]=0……（2）】

這兩個是很重要的等式，需要先證明出來。

陳舟思考了一會，對上面兩個等式做出了一些變換，然後著手開始證明。

【∑j=0→n[（aw1＊/aξj＋aw2＊/aξj）ej]=……】

【顯然，這兩個對應項的和為零，其余項以此類推……故上式成立。】

【同理可證Dξw1＊＋Dξw2＊=0】

證明完畢，陳舟又寫下下一個需要證明的內容。

【設ΩcC^（n＋1）為有界區域，設f，g∈C1（Ω，Cl0，n（C）），定義df=af＋▔af，……，則有d[f·（w1＋w2）]=df∧（w1＋w2）。】

略一思索，陳舟開始證明。

【因為d（f·g）=df·g＋f·dg，所以d[f·（w1＋w2）]=df∧（w1＋w2）＋f·d（w1＋w2）=df∧（w1＋w2）＋f[a（w1＋w2）＋▔a（w1＋w2）]】

【因為▔aw2=0，aw1=0，所以……】

陳舟剛寫完，旁邊的陳勇戳了戳他：“哥，幫我看看這題，這題我不會做，看了答案也沒理解。”

陳舟拿過他手中的資料書，看了一眼，一個函數的題目，他擡手寫了個a的符號，然後立馬劃掉。

微微搖頭，陳舟暗自嘀咕一聲，這還真是看什麽是什麽了。

又看了一遍題目，稍微整理了一下思緒，陳舟開始在草稿紙上邊寫解題步驟，邊給陳勇講解。

停下筆後，陳舟看了一眼陳勇，他還盯著草稿紙在看。

這道題對於高中生來說，確實有些超綱了。

陳舟也不急，就這麽邊思考自己的課題，邊等著陳勇。

過了一會，陳勇收回在草稿紙上的目光，扭頭看向陳舟。

陳舟笑著問道：“都理解了？”

陳勇點了點頭：“嗯，謝謝哥。”

陳舟：“不客氣，接著做題吧。”

說完，陳舟也回到自己的課題上。

前面兩個鋪墊的定理已經搞定，下面就是關於Cauchy－Pompieu公式的證明了。

Cauchy－Pompieu公式的表述是：

【設ΩcC^（n＋1）為有界區域，設f∈C1（Ω，Cl0，n（C）），且f∈H（Ω，α）（0＜α＜1），則對任意的n＋1維鏈Γ，▔ΓcΩ，有f（z）=∫aΓf（ξ）·（w1＋w2）－∫Γd[f（ξ）·（w1＋w2）]。】

陳舟拿著筆，習慣性的在草稿紙上點了兩下，然後開始證明。

【以z∈Ω為心，充分小的ε為半徑，作小球Bε={ξ||ξ－z|＜ε}，則……】

再根據多復分析中的斯托克斯公式，可以繼續往下證明。

【……，當ε→0時，∫aBε[f（ξ）－f（z）]（w1＋w2）→0，……】

寫完之後，陳舟回看了一遍，主要是利用了極限的定義，通過挖點的方法將含有奇點的部分分離出來。

其中，含有奇點的部分，可以利用函數的赫爾德連續性的定義，證明其極限為零。

沒有奇點的部分，則利用斯托克斯公式，證明其結果是一個確定的常數，從而將問題解決。

這天下午，陳舟就在課題和講解之中輪轉著度過了。

到了晚上，再和楊依依開著視頻，互相監督，互相學習。

直到楊依依催促著陳舟趕快睡覺，他才放下手中筆，清空腦中的思緒。

第二天，陳舟依舊如此度過。

除了偶爾被陳曉和陳勇問問題時，陳舟簡單休息一下，其余的時間，便一直沉浸在課題中。

課題的進度，陳舟已經推進到對復Clifford分析中具有B－M核的T算子的性質的研究。

相關的預備知識及定義，陳舟早就整理的差不多了。

像Hadamard引理，赫爾德不等式，Minkowski不等式等等，他都已經熟稔於心。

T算子，全稱是Teodorescu算子，是一種奇異積分算子，這種奇異積分算子有著許多優良的性質，可以應用與研究偏微分方程理論，積分方程理論以及廣義函數理論中。

看著自己得到的結論，陳舟想到了經典的Hile引理的結論，很類似。

但因為Hile引理在復Clifford分析中無法直接使用，所以陳舟才根據不同的情況，插入合適的項，證明了相關的結論。